Le budget publicité en hausse

Quel budget total la boutique doit-elle prévoir pour les 5 premières années d'affichage publicitaire ?

1 La situation

La boutique du marché couvert signe un contrat d'affichage publicitaire (flyers, panneaux, impressions) avec un imprimeur de Mamoudzou. Le coût de la première année est de 3 000 €, et le contrat prévoit une hausse de 5 % chaque année (inflation des tarifs d'impression, coût du transport des rouleaux de papier par bateau). La gérante veut connaître le coût total sur 5 ans pour monter son budget prévisionnel.

2 Étape 1 — La suite des coûts annuels

u₀ = 3 000 (première année), raison q = 1,05 (hausse de 5 %).

Coût de la 2ᵉ année : u₁ = 3 000 × 1,05 = ? (en €)

Coût de la 5ᵉ année : u₄ = 3 000 × 1,05⁴, arrondi à l'euro (en €)

3 Étape 2 — La somme des n premiers termes

Pour un budget total sur plusieurs années, il faut additionner tous les coûts annuels : c'est la somme des n premiers termes d'une suite géométrique. On l'obtient avec l'outil numérique (calculatrice, tableur) — la formule n'est pas exigée par cœur.

Budget total sur les 5 premières années (u₀ à u₄), arrondi à l'euro (en €)

16 577 € à prévoir sur 5 ans — une somme supérieure à 5 × 3 000 = 15 000 € (le coût de la 1ʳᵉ année répété 5 fois), à cause de la hausse chaque année.

4 Étape 3 — Comparer avec une hausse à coût constant

Sans aucune hausse, le budget sur 5 ans aurait été 5 × 3 000 = 15 000 €.

Surcoût lié à la hausse annuelle de 5 % : 16 577 − 15 000 = ? (en €)

1 577 € de surcoût sur 5 ans, à anticiper dans la négociation du contrat avec l'imprimeur.

Trace écrite

La somme des n premiers termes d'une suite géométrique donne un cumul (budget total, quantité totale…) sur plusieurs périodes ; on l'obtient à l'aide d'un outil numérique.
Comparer cette somme au cas « sans évolution » (n × u₀) permet de chiffrer le surcoût ou l'économie lié à la hausse ou à la baisse.

Quiz

Pour obtenir un budget total sur plusieurs années, on :

Une suite géométrique de raison q = 1,05 modélise une évolution de :

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