L'autonomie du terminal de paiement qui décroît

Au bout de combien de recharges la batterie du terminal de paiement tombe-t-elle sous le seuil critique de 1000 mAh ?

1 La situation

Le terminal de paiement mobile (TPE) utilisé au stand du marché couvert fonctionne sur batterie rechargeable. À chaque cycle de recharge, la capacité maximale de la batterie diminue légèrement à cause de l'usure — accélérée par la chaleur et l'humidité du climat tropical : environ 6 % de moins à chaque recharge. La batterie neuve a une capacité de 2 000 mAh. En dessous de 1 000 mAh, l'autonomie est jugée insuffisante pour tenir une matinée de marché complète : le TPE doit être remplacé.

2 Étape 1 — Modéliser la décroissance

Perdre 6 % à chaque recharge, c'est multiplier par (1 − 0,06) = 0,94 à chaque fois : suite géométrique de raison q = 0,94, u₀ = 2000.

Capacité après 1 recharge : u₁ = 2000 × 0,94 = ? (en mAh)

La suite est-elle croissante ou décroissante ? (1 = croissante, 2 = décroissante)

0 < q = 0,94 < 1 : la suite est décroissante.

3 Étape 2 — Chercher le rang par balayage

Recharge n	9	10	11	12
Capacité (mAh)	1146,0	1077,2	1012,6	951,8

On calcule les termes les uns après les autres jusqu'à passer sous 1 000 mAh — une recherche par balayage.

À la recharge n = 11, la capacité (1012,6 mAh) est-elle encore au-dessus de 1000 ? (1 = oui, 2 = non)

Premier rang n pour lequel la capacité passe sous 1000 mAh

À la recharge n = 12, la capacité tombe à 951,8 mAh, sous le seuil de 1000 : c'est le moment de remplacer le TPE.

4 Étape 3 — Ce que ça change pour le planning matériel

Avec un usage d'environ une recharge complète par semaine de marché, 12 recharges représentent une durée de vie utile du TPE qu'on peut convertir en semaines.

Durée de vie utile en semaines, à raison d'une recharge par semaine

Environ 12 semaines avant de devoir remplacer le TPE — une donnée à intégrer dans la commande de matériel de rechange.

Trace écrite

Une suite géométrique de raison 0 < q < 1 et de premier terme positif est décroissante : elle modélise une baisse à taux fixe (usure, atténuation, décote…).
Pour trouver le premier rang à partir duquel une suite dépasse (ou passe sous) un seuil donné, on calcule les termes successifs jusqu'à le franchir : une recherche par balayage.

Quiz

Une suite géométrique de raison q = 0,94 modélise :

Chercher « le premier rang pour lequel la suite passe sous un seuil » se fait :

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