La fréquentation du magasin un jour de soldes

À quels moments de la journée la fréquentation du magasin est-elle la plus forte ou la plus faible ?

1 La situation

Chez Jumbo Score, un jour de soldes, la responsable modélise le nombre cumulé de clients entrés depuis l'ouverture, en centaines de clients, par la fonction f(x) = x³ − 6x² + 9x, où x est le nombre d'heures depuis l'ouverture (0 ⩽ x ⩽ 4). Elle veut savoir à quels moments renforcer le nombre de caissiers.

2 Étape 1 — Calculer la dérivée

Pour f(x) = x³ − 6x² + 9x, la dérivée est f'(x) = 3x² − 12x + 9, qui se factorise en f'(x) = 3(x − 1)(x − 3).

f'(0) = 3(0−1)(0−3) = ?

f'(2) = 3(2−1)(2−3) = ?

3 Étape 2 — Signe de f' et sens de variation

x	0	1	2	3	4
f'(x)	9	0	−3	0	9
f(x)	0	4	2	0	4

f'(x) = 3(x−1)(x−3) est un produit de deux facteurs : il est positif avant 1 et après 3, négatif entre 1 et 3 (produit de deux facteurs de signes opposés).

Sur [0 ; 1], f est-elle croissante ou décroissante ? (1 = croissante, 2 = décroissante)

Sur [1 ; 3], f est-elle croissante ou décroissante ? (1 = croissante, 2 = décroissante)

Sur [3 ; 4], f est-elle croissante ou décroissante ? (1 = croissante, 2 = décroissante)

4 Faire glisser le point sur la courbe

Fais glisser le point : observe la montée jusqu'à 1 h, le ralentissement jusqu'à 3 h, puis la reprise. C'est exactement ce que montre le tableau de variations.

5 Étape 3 — Repérer le maximum et le minimum locaux

Le tableau de variations montre un maximum local là où f' change de + à −, et un minimum local là où f' change de − à +.

Maximum local atteint en x = 1, de valeur f(1) = ?

Minimum local atteint en x = 3, de valeur f(3) = ?

L'affluence cumulée ralentit fortement entre la 1ʳᵉ et la 3ᵉ heure (la dérivée devient négative), avant de repartir : un flux qui marque une pause, pas un vrai recul de fréquentation totale (f ne peut pas redescendre en réalité — c'est le rythme des nouveaux arrivants qui ralentit).

Trace écrite

Pour dresser le tableau de variations d'une fonction polynôme de degré ⩽ 3, on étudie le signe de la dérivée : là où f' > 0, f est croissante ; là où f' < 0, f est décroissante.
Un maximum local apparaît là où f' passe de + à − ; un minimum local, là où f' passe de − à +.

Quiz

Le tableau de variations d'une fonction polynôme de degré 3 se construit à partir :

f'(x) = 3(x−1)(x−3) change de signe en :

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