Combien de fois un niveau d'affluence donné est-il atteint ?

D'après le tableau de variations, combien de fois la fonction prend-elle une valeur donnée ?

1 La situation

On reprend la fonction f(x) = x³ − 6x² + 9x de la séance précédente (affluence cumulée, en centaines de clients). La responsable veut savoir, sans refaire de calcul compliqué, combien de fois sur la journée le compteur affiche une valeur donnée f(x) = c — juste en lisant le tableau de variations.

2 Étape 1 — Relire le tableau de variations

x	0	1	3	4
f(x)	0	4 (maximum local)	0 (minimum local)	4

f monte de 0 à 4 sur [0 ; 1], redescend de 4 à 0 sur [1 ; 3], puis remonte de 0 à 4 sur [3 ; 4]. Une valeur c est atteinte une fois par morceau où f passe par c en montant ou descendant strictement.

3 Étape 2 — Compter les solutions pour c = 2 (entre le minimum et le maximum)

c = 2 est strictement entre 0 (minimum local) et 4 (maximum local) : f passe par la valeur 2 sur chacun des trois morceaux du tableau.

Nombre de solutions de f(x) = 2 sur [0 ; 4], d'après le tableau

4 Étape 3 — Compter les solutions pour c = 5 (au-dessus du maximum)

c = 5 est au-dessus du maximum local (4) : sur les deux premiers morceaux, f ne dépasse jamais 4, elle ne peut donc pas atteindre 5.

Sur [0 ; 4], le maximum atteint par f est 4. f(x) = 5 a-t-elle une solution sur [0 ; 4] ? (1 = oui, 2 = non)

Sur l'intervalle étudié [0 ; 4], f ne dépasse jamais 4 : l'équation f(x) = 5 n'a <b>aucune solution</b> sur [0 ; 4].

5 Étape 4 — Le cas particulier c = 4 (exactement le maximum)

c = 4 est exactement la valeur du maximum local, atteinte en x = 1, et c'est aussi la valeur en x = 4 (bord de l'intervalle).

Nombre de solutions de f(x) = 4 sur [0 ; 4] (x = 1 et x = 4)

Quand c est exactement une valeur extrémale, on retrouve moins de solutions qu'entre les deux extremums : ici 2 au lieu de 3.

Trace écrite

Le tableau de variations permet de déterminer le nombre de solutions de f(x) = c sans résoudre l'équation : on compte, sur chaque morceau où f est strictement monotone, si la valeur c est franchie.
Entre le minimum local et le maximum local, on trouve généralement plusieurs solutions ; au-delà du maximum ou en-deçà du minimum, aucune (sur l'intervalle étudié) ; exactement sur un extremum, une solution de moins qu'entre les deux.

Quiz

Pour compter le nombre de solutions de f(x) = c, on :

Si c est strictement entre le minimum local et le maximum local d'une fonction en forme de S (comme ici), l'équation f(x) = c a en général :

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