bac pro MCV / Fonction dérivée et étude des variations / Fonction dérivée et étude des variations
Chapitre 2
Aïcha paie 15 € de droit de place fixe chaque samedi (module précédent), plus 2 € de frais par maillot vendu. Elle se demande : plus elle vend de maillots dans la matinée, moins le droit de place fixe « pèse » sur chacun — mais de combien exactement ?
Le coût moyen unitaire CM(x) est le coût total divisé par le nombre de maillots x : CM(x) = C(x) ÷ x = (15 + 2x) ÷ x = 15/x + 2. Le terme 15/x fait apparaître la fonction inverse x ↦ 1/x.
La fonction inverse x ↦ 1/x, définie pour x ≠ 0, est décroissante sur l'intervalle ]0 ; +∞[ : plus x augmente, plus 1/x diminue (en restant toujours positif).
Comme 15/x est décroissante sur ]0 ; +∞[, et qu'on lui ajoute simplement la constante 2 (qui ne change pas le sens de variation), CM(x) est décroissante sur ]0 ; +∞[ : plus Aïcha vend de maillots, plus le coût moyen par maillot diminue, en se rapprochant de 2 € (le coût variable seul) sans jamais l'atteindre.
Fais glisser le point le long de la courbe : elle descend tout du long, de plus en plus lentement, en se rapprochant sans jamais toucher la ligne des 2 € — la représentation graphique exacte de la décroissance étudiée.
Trace écrite
La fonction inverse x ↦ 1/x, définie pour x ≠ 0, est décroissante sur ]0 ; +∞[.
Un coût moyen unitaire qui combine des frais fixes répartis sur x unités (terme en k/x) et un coût variable constant hérite de cette décroissance : plus le volume augmente, plus le coût moyen par unité diminue.
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