bac pro MCV / Fonction dérivée et étude des variations / Fonction dérivée et étude des variations
Chapitre 1
Au module précédent, la parabole du bénéfice B(p) = −2(p − 3)(p − 9) a donné un maximum au prix p = 6 €, trouvé par symétrie (milieu des deux racines). On va retrouver ce résultat par une méthode plus générale, qui marche même quand la fonction n'a pas de racines connues : l'étude de la dérivée.
En développant la forme factorisée : B(p) = −2(p − 3)(p − 9) = −2(p² − 12p + 27) = −2p² + 24p − 54. C'est un polynôme de degré 2 sous forme développée.
Pour une fonction polynôme f(p) = ap² + bp + c, la fonction dérivée est f'(p) = 2ap + b (dérivée de p² : 2p ; dérivée d'une constante : 0 ; règles de somme et de produit par une constante). Ici, a = −2 et b = 24, donc B'(p) = −4p + 24.
| p | 0 | 6 | 12 |
|---|---|---|---|
| B'(p) | 24 | 0 | −24 |
| B(p) | −54 | 18 | −198 |
B'(p) > 0 avant p = 6 : B est croissante. B'(p) < 0 après p = 6 : B est décroissante. Le passage de + à − signale un maximum.
Puisque B'(p) s'annule en changeant de signe (de + à −) en p = 6, B admet un maximum local en p = 6, de valeur B(6) = 18 — exactement le résultat trouvé graphiquement au module précédent, mais obtenu ici uniquement par le calcul.
La même courbe que dans le module précédent, mais lue cette fois en connaissant déjà B'(p). Fais glisser le point jusqu'au sommet (p = 6) : c'est exactement là où la pente de la courbe — donnée par B'(p) — passe de positive à négative.
Trace écrite
Pour un polynôme f(p) = ap² + bp + c, la fonction dérivée est f'(p) = 2ap + b.
On étudie le signe de f' pour en déduire le sens de variation de f : f' > 0 → f croissante ; f' < 0 → f décroissante.
Un extremum local apparaît là où f' s'annule en changeant de signe.
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