L'autonomie du talkie-walkie qui décroît

Au bout de combien de recharges la batterie tombe-t-elle sous le seuil critique de 1000 mAh ?

1 La situation

Les talkies-walkies de l'équipe DOM Sécurité Mayotte fonctionnent sur batterie rechargeable. À chaque cycle de recharge, la capacité maximale de la batterie diminue légèrement à cause de l'usure — accélérée par la chaleur et l'humidité du climat tropical : environ 6 % de moins à chaque recharge. La batterie neuve a une capacité de 2 000 mAh. En dessous de 1 000 mAh, l'autonomie est jugée insuffisante pour une vacation complète : la batterie doit être remplacée.

2 Étape 1 — Modéliser la décroissance

Perdre 6 % à chaque recharge, c'est multiplier par (1 − 0,06) = 0,94 à chaque fois : suite géométrique de raison q = 0,94, u₀ = 2000.

Capacité après 1 recharge : u₁ = 2000 × 0,94 = ? (en mAh)

La suite est-elle croissante ou décroissante ? (1 = croissante, 2 = décroissante)

0 < q = 0,94 < 1 : la suite est décroissante.

3 Étape 2 — Chercher le rang par balayage

Recharge n	9	10	11	12
Capacité (mAh)	1146,0	1077,2	1012,6	951,8

On calcule les termes les uns après les autres jusqu'à passer sous 1 000 mAh — une recherche par balayage.

À la recharge n = 11, la capacité (1012,6 mAh) est-elle encore au-dessus de 1000 ? (1 = oui, 2 = non)

Premier rang n pour lequel la capacité passe sous 1000 mAh

À la recharge n = 12, la capacité tombe à 951,8 mAh, sous le seuil de 1000 : c'est le moment de remplacer la batterie.

4 Étape 3 — Ce que ça change pour le planning matériel

Avec un usage d'environ une recharge complète par semaine de service, 12 recharges représentent une durée de vie utile de la batterie qu'on peut convertir en semaines.

Durée de vie utile en semaines, à raison d'une recharge par semaine

Environ 12 semaines avant de devoir remplacer la batterie — une donnée à intégrer dans la commande de matériel de rechange.

Trace écrite

Une suite géométrique de raison 0 < q < 1 et de premier terme positif est décroissante : elle modélise une baisse à taux fixe (usure, atténuation, décote…).
Pour trouver le premier rang à partir duquel une suite dépasse (ou passe sous) un seuil donné, on calcule les termes successifs jusqu'à le franchir : une recherche par balayage.

Quiz

Une suite géométrique de raison q = 0,94 modélise :

Chercher « le premier rang pour lequel la suite passe sous un seuil » se fait :

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