bac pro MS / Fonctions exponentielles et logarithme décimal / Fonctions exponentielles et logarithme décimal
Chapitre 3
On reprend le signal radio des séances précédentes : P(x) = 100 × 0,6ˣ, x étant le nombre de murs traversés. Le fabricant du poste central indique qu'en dessous d'une puissance de 5 (sur l'échelle relative utilisée), le signal n'est plus exploitable de façon fiable.
On cherche x tel que P(x) = 5, soit 100 × 0,6ˣ = 5, c'est-à-dire 0,6ˣ = 0,05 : une équation du type qˣ = a.
On applique le logarithme décimal aux deux membres : log(0,6ˣ) = log(0,05). En utilisant les propriétés du logarithme, cela devient x × log(0,6) = log(0,05), donc x = log(0,05) ÷ log(0,6).
x = 5,9 est une solution mathématique, mais le nombre de murs traversés est forcément un nombre entier. Il faut donc résoudre l'inéquation P(x) < 5, c'est-à-dire trouver le plus petit entier x au-delà de 5,9.
Trace écrite
Pour résoudre qˣ = a, on applique le logarithme décimal aux deux membres, puis on utilise log(qˣ) = x × log(q) pour isoler x : x = log(a) ÷ log(q).
Une inéquation qˣ ⩽ a (ou ⩾ a) se résout de la même façon ; quand la variable ne peut prendre que des valeurs entières (nombre de murs, de recharges…), on arrondit ensuite au bon entier selon le sens du problème.
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