Le signal radio qui traverse les murs

Quelle est la puissance du signal radio après avoir traversé plusieurs murs ?

1 La situation

Les agents DOM Sécurité Mayotte utilisent des radios portatives reliées à un poste central, sur un entrepôt du port de Longoni. Dans un modèle simplifié utilisé par le technicien radio, chaque mur traversé réduit la puissance du signal de 40 % par rapport à ce qu'elle était juste avant ce mur. La puissance en sortie d'émetteur vaut 100 (en unité relative).

2 Étape 1 — Une fonction exponentielle de base q

Réduire de 40 %, c'est multiplier par (1 − 0,40) = 0,6 à chaque mur. La puissance après x murs traversés est P(x) = 100 × 0,6ˣ : une fonction exponentielle de base q = 0,6.

Puissance après 1 mur : P(1) = 100 × 0,6¹ = ?

Puissance après 3 murs : P(3) = 100 × 0,6³ = ?

3 Faire glisser le point sur la courbe

Fais glisser le point : la courbe descend, de plus en plus lentement — typique d'une fonction exponentielle décroissante (0 < q < 1).

4 Étape 2 — Variations de la fonction exponentielle

x (murs)	0	1	2	3	4	5	6
P(x)	100	60	36	21,6	12,96	7,78	4,67

Ici q = 0,6, avec 0 < q < 1 : la fonction exponentielle x ↦ 0,6ˣ est décroissante. Si q avait été supérieur à 1, elle aurait été croissante.

Avec q = 0,6 (0 < q < 1), la fonction est-elle croissante ou décroissante ? (1 = croissante, 2 = décroissante)

5 Étape 3 — Propriétés opératoires

Comme pour toute fonction exponentielle : 0,6ᵃ × 0,6ᵇ = 0,6ᵃ⁺ᵇ. Traverser 2 murs puis encore 3 murs revient à traverser 5 murs d'un coup.

0,6² × 0,6³ = 0,6^(2+3) = 0,6⁵. Valeur de P(5) = 100 × 0,6⁵, arrondie au dixième

Trace écrite

Une fonction exponentielle de base q s'écrit f(x) = A × qˣ. Si q > 1, elle est croissante ; si 0 < q < 1, elle est décroissante.
Propriétés opératoires : qᵃ × qᵇ = qᵃ⁺ᵇ, comme pour toute puissance.

Quiz

Pour q = 0,6, la fonction x ↦ 100 × 0,6ˣ est :

qᵃ × qᵇ est égal à :

La fonction logarithme décimal →