bac pro MS / Fonctions polynômes de degré 3 / Fonctions polynômes de degré 3
Chapitre 3
On reprend la fonction f(x) = x³ − 6x² + 9x de la séance précédente (fréquentation cumulée, en centaines de visiteurs). Le service de sécurité veut savoir, sans refaire de calcul compliqué, combien de fois sur la journée le compteur affiche une valeur donnée f(x) = c — juste en lisant le tableau de variations.
| x | 0 | 1 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| f(x) | 0 | 4 (maximum local) | 0 (minimum local) | 4 |
f monte de 0 à 4 sur [0 ; 1], redescend de 4 à 0 sur [1 ; 3], puis remonte de 0 à 4 sur [3 ; 4]. Une valeur c est atteinte une fois par morceau où f passe par c en montant ou descendant strictement.
c = 2 est strictement entre 0 (minimum local) et 4 (maximum local) : f passe par la valeur 2 sur chacun des trois morceaux du tableau.
c = 5 est au-dessus du maximum local (4) : sur les deux premiers morceaux, f ne dépasse jamais 4, elle ne peut donc pas atteindre 5. Seul le dernier morceau (croissant, de 0 à 4… mais qui continuerait au-delà de x = 4) pourrait l'atteindre plus loin — sur l'intervalle [0 ; 4] étudié ici, il faut regarder si le morceau va assez haut.
c = 4 est exactement la valeur du maximum local, atteinte en x = 1, et c'est aussi la valeur en x = 4 (bord de l'intervalle).
Trace écrite
Le tableau de variations permet de déterminer le nombre de solutions de f(x) = c sans résoudre l'équation : on compte, sur chaque morceau où f est strictement monotone, si la valeur c est franchie.
Entre le minimum local et le maximum local, on trouve généralement plusieurs solutions ; au-delà du maximum ou en-deçà du minimum, aucune (sur l'intervalle étudié) ; exactement sur un extremum, une solution de moins qu'entre les deux.
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