bac pro MS / Fonctions polynômes de degré 3 / Fonctions polynômes de degré 3
Chapitre 1
Le poste de sécurité incendie du port de Longoni doit installer une réserve d'eau de forme cubique, de côté x mètres, pour l'attaque d'un départ de feu. À Mayotte, le réseau d'eau courante est soumis à des tours d'eau (coupures régulières) : le site ne peut pas compter sur le robinet en cas d'urgence, la réserve doit être autonome et bien dimensionnée dès le départ. Le chef de poste hésite entre plusieurs tailles de bac et vous demande d'étudier comment le volume évolue avec le côté.
Le volume d'un cube de côté x est V(x) = x³ : c'est la fonction cube. Sa dérivée est V'(x) = 3x².
Fais glisser le point pour lire le volume correspondant à un côté donné (image), ou l'inverse (antécédent). Observe : la courbe monte de plus en plus vite — elle ne redescend jamais.
V'(x) = 3x² est un carré : il est toujours positif ou nul, quel que soit x. V'(x) = 0 seulement pour x = 0.
V'(0) = 0, pourtant V n'a pas d'extremum en x = 0 : V continue d'augmenter avant et après. Le seul fait que la dérivée s'annule en un point ne suffit pas pour conclure qu'il y a un maximum ou un minimum local à cet endroit.
Trace écrite
La fonction cube V(x) = x³ a pour dérivée V'(x) = 3x², toujours positive ou nulle (un carré) : la fonction cube est strictement croissante sur ℝ.
Piège à retenir : une dérivée qui s'annule en un point (ici x = 0) ne garantit pas un extremum local à cet endroit — il faut que la dérivée change de signe.
Quiz