Le bon prix pour le maillot

Entre quels prix Aïcha reste-t-elle bénéficiaire, et quel prix maximise son bénéfice ?

1 La situation

Aïcha remarque que le prix de vente influence ses ventes : plus cher, elle vend moins de maillots ; moins cher, elle en vend plus mais gagne moins sur chacun. Un camarade de BTS lui a modélisé son bénéfice hebdomadaire (en euros) en fonction du prix de vente p (en euros) par la fonction <b>B(p) = −2(p − 3)(p − 9)</b>, donnée directement sous forme factorisée.

2 Étape 1 — Racines du polynôme

Un nombre est racine d'un polynôme f s'il annule f, c'est-à-dire f(x) = 0. Sous forme factorisée a(x − x₁)(x − x₂), les racines se lisent directement : ce sont x₁ et x₂.

B(3) = −2(3 − 3)(3 − 9) = −2 × 0 × (−6) = ?

B(9) = −2(9 − 3)(9 − 9) = −2 × 6 × 0 = ?

D'après la forme factorisée B(p) = −2(p − 3)(p − 9), quelles sont les deux racines ? Indique la plus petite.

3 Étape 2 — Tester si un prix donné est racine

Pour tester si un nombre est racine, on remplace p par ce nombre : si le résultat est 0, c'est une racine.

B(6) = −2(6 − 3)(6 − 9) = −2 × 3 × (−3) = ?

B(6) ≠ 0 : 6 n'est pas une racine du polynôme.

4 Étape 3 — Signe du polynôme sous forme factorisée

p	0	2	3	6	9	11
p − 3	−	−	0	+	+	+
p − 9	−	−	−	−	0	+
(p−3)(p−9)	+	+	0	−	0	+
B(p) = −2×(...)	−	−	0	+	0	−

Le signe de B(p) = −2(p − 3)(p − 9) est celui d'un produit : on étudie le signe de chaque facteur, on les multiplie (en n'oubliant pas le −2 devant, qui inverse le signe final), et on lit le résultat dans un tableau de signes.

Sur l'intervalle ]3 ; 9[, le bénéfice B(p) est-il positif ou négatif ? (1 = positif, 2 = négatif)

5 Étape 4 — Allure de la parabole et sommet

Comme le coefficient devant p² est négatif (a = −2), la parabole a ses branches tournées vers le bas : elle monte puis redescend, avec un maximum au sommet. Par symétrie, le sommet est exactement au milieu des deux racines : (3 + 9) ÷ 2 = 6.

Prix (en €) qui maximise le bénéfice, d'après le sommet de la parabole

Bénéfice maximal B(6), déjà calculé à l'étape 2 (en €)

En vendant ses maillots 6 €, Aïcha maximise son bénéfice hebdomadaire à 18 € (dans ce modèle).

6 Sur la calculatrice — vérifier sur la courbe

Fais glisser le point sur la courbe pour retrouver l'image B(p) à un prix donné, ou passe en mode antécédent pour lire un prix à partir d'un bénéfice visé. Observe la forme en cloche : elle monte de p = 0 à p = 6, redescend ensuite — exactement ce que prédisait l'étude du signe.

7 Étape 5 — Et si les racines ou le coefficient changeaient ?

Manipule les trois curseurs (a, x₁, x₂) et observe en direct comment la courbe se déforme : déplace une racine, regarde le sommet suivre le milieu des deux ; passe a de négatif à positif et regarde les branches se retourner. Le tableau ci-dessous garde une trace des valeurs actuelles.

Trace écrite

Sous forme factorisée a(x − x₁)(x − x₂), les racines d'un polynôme de degré 2 se lisent directement : x₁ et x₂.
Le signe s'obtient en étudiant chaque facteur puis en appliquant la règle des signes d'un produit.
Si a > 0, la parabole a ses branches vers le haut (minimum) ; si a < 0, vers le bas (maximum). Le sommet est toujours au milieu des deux racines.

Quiz

Pour un polynôme donné sous forme factorisée a(x − x₁)(x − x₂), les racines sont :

Si a < 0, la parabole représentant le polynôme :

Le sommet d'une parabole de racines x₁ et x₂ se situe :

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