Le seuil de rentabilité d'Aïcha

À partir de combien de maillots vendus les recettes dépassent-elles les coûts ?

1 La situation

Pour son dossier auprès de la mairie, Aïcha doit prouver que son stand est rentable. Chaque samedi, elle paie un droit de place fixe de 15 € au marché couvert de Mamoudzou, plus 2 € de frais (sac, étiquette) par maillot vendu. Elle revend chaque maillot 5 €. Elle veut savoir, sur une matinée, à partir de combien de maillots vendus elle commence à gagner de l'argent.

2 Étape 1 — Deux fonctions : coûts et recettes

x (maillots)	0	2	4	5	6	8	10
C(x) = 15 + 2x	15	19	23	25	27	31	35
R(x) = 5x	0	10	20	25	30	40	50

Le coût total pour x maillots vendus est C(x) = 15 + 2x (en euros). La recette pour x maillots vendus est R(x) = 5x (en euros). Les deux représentations graphiques de C et de R sont fournies : deux droites.

3 Étape 2 — Résoudre graphiquement C(x) = R(x)

Le seuil de rentabilité est la valeur de x pour laquelle les coûts sont exactement égaux aux recettes : C(x) = R(x). Sur le tableau, on repère la colonne où les deux lignes affichent la même valeur.

D'après le tableau, pour quelle valeur de x a-t-on C(x) = R(x) ?

À x = 5, C(5) = 25 et R(5) = 25 : les coûts et les recettes sont égaux. C'est le seuil de rentabilité.

4 Sur la calculatrice — retrouver le seuil autrement

Résoudre C(x) = R(x) revient exactement à résoudre D(x) = 0, où D(x) = R(x) − C(x) = 3x − 15 (l'écart entre recette et coût). Passe la calculatrice en mode Lire un antécédent et cherche l'antécédent de 0 : c'est le seuil de rentabilité, retrouvé sans repasser par le tableau.

5 Étape 3 — Résoudre graphiquement l'inéquation R(x) ⩾ C(x)

Aïcha veut savoir à partir de quand elle gagne de l'argent, c'est-à-dire quand R(x) ⩾ C(x). D'après le tableau, avant x = 5 la recette est inférieure au coût (perte), après x = 5 elle est supérieure (bénéfice).

Pour x = 4, la recette R(4) = 20 est-elle supérieure ou inférieure au coût C(4) = 23 ? (1 = supérieure, 2 = inférieure)

Pour x = 8, la recette R(8) = 40 est-elle supérieure ou inférieure au coût C(8) = 31 ? (1 = supérieure, 2 = inférieure)

À partir de combien de maillots vendus (nombre entier) Aïcha commence-t-elle à être bénéficiaire, R(x) > C(x) ?

À x = 5 pile, elle ne gagne ni ne perd rien (seuil). À partir du 6ᵉ maillot vendu, la recette dépasse le coût : elle devient bénéficiaire.

Trace écrite

Pour résoudre graphiquement une équation f(x) = g(x), on cherche les points où les deux représentations graphiques (ou les deux colonnes d'un tableau de valeurs) coïncident.
Pour résoudre une inéquation f(x) ⩾ g(x), on cherche les valeurs de x pour lesquelles la courbe (ou la valeur) de f est au-dessus de celle de g.
En économie, le point où coût = recette s'appelle le seuil de rentabilité.

Quiz

Le seuil de rentabilité correspond à la solution de l'équation :

Résoudre graphiquement R(x) ⩾ C(x) revient à trouver :

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