Convertir un taux, comparer une évolution sur plusieurs années

Quel est le taux mensuel équivalent à ce taux annuel, et le taux moyen d'évolution sur plusieurs années ?

1 La situation

Pour un contrat de leasing de matériel de sécurité, le fournisseur (livré par bateau via le port de Longoni) annonce un taux annuel de 4 %, mais les paiements sont mensuels : il faut connaître le taux mensuel réellement appliqué. Par ailleurs, la valeur de revente du matériel a évolué de façon irrégulière sur 3 ans (+5 % puis −3 % puis +2 %) : la direction veut connaître le taux moyen annuel équivalent à cette évolution.

2 Étape 1 — Le taux mensuel équivalent

Un taux mensuel équivalent à un taux annuel t doit, appliqué 12 fois dans l'année, redonner le même coefficient multiplicateur : (1 + tₘ)¹² = 1 + t, donc tₘ = (1 + t)^(1/12) − 1.

Coefficient multiplicateur annuel : 1 + 0,04 = ?

Taux mensuel équivalent tₘ = 1,04^(1/12) − 1, en %, arrondi au centième

Environ 0,33 % par mois. C'est très proche de 4 % ÷ 12 ≈ 0,33 % pour un taux annuel aussi faible, mais ce n'est qu'une coïncidence d'arrondi : le taux mensuel <b>équivalent</b> (par la puissance 1/12) et le taux annuel simplement divisé par 12 sont deux calculs différents, qui s'écartent nettement plus pour un taux annuel élevé.

3 Étape 2 — Trois évolutions successives : le coefficient global

Une évolution de +5 % correspond au coefficient 1,05 ; de −3 %, au coefficient 0,97 ; de +2 %, au coefficient 1,02. Sur 3 ans, le coefficient global est le produit des trois coefficients.

Coefficient global sur 3 ans : 1,05 × 0,97 × 1,02, arrondi à 4 décimales

4 Étape 3 — Le taux moyen annuel équivalent

Le taux moyen tₘₒy est le taux constant qui, appliqué 3 années de suite, donnerait le même coefficient global : (1 + tₘₒy)³ = 1,0389, donc tₘₒy = 1,0389^(1/3) − 1.

Taux moyen annuel équivalent, en %, arrondi au centième

Un taux moyen d'environ +1,28 % par an, alors qu'aucune des trois années n'a connu exactement cette évolution : c'est bien la moyenne des <b>coefficients</b> (par racine, pas la moyenne arithmétique des trois pourcentages +5 %, −3 %, +2 %, qui donnerait à tort +1,33 %).

Trace écrite

Un taux mensuel équivalent à un taux annuel t vérifie (1 + tₘ)¹² = 1 + t, donc tₘ = (1 + t)^(1/12) − 1.
Pour plusieurs évolutions successives, le coefficient global est le produit des coefficients multiplicateurs de chaque période ; le taux moyen est le taux constant équivalent, tel que (1 + tₘₒy)ⁿ = coefficient global — il ne s'obtient jamais en faisant simplement la moyenne arithmétique des pourcentages.

Quiz

Un taux mensuel équivalent à un taux annuel t vérifie :

Pour trouver le taux moyen de plusieurs évolutions successives, on :

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